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Essay Quantenmechanik

 

Quantenmechanik — Versuch einer Einführung in eine schwer begreifbare Welt

Die Quan­ten­me­cha­nik ver­ständ­lich zu erläu­tern, kann als 80 Jah­re anhal­ten­der Ver­such bezeich­net wer­den. Lan­ge ver­stan­den selbst Phy­si­ker nicht, was Planck mit sei­nem Pos­tu­lat der dis­kre­ten Ener­gie­zu­stän­de nach Unter­su­chung der Strah­lung des schwar­zen Kör­pers im Jah­re 1900, Ein­stein mit sei­nem pho­to­elek­tri­schen Effekt im Jah­re 1905, wofür er übri­gens 1921 den Nobel­preis erhielt, Nils Bohr mit der Unter­su­chung der Atom­struk­tur im Jah­re 1921 (Nobel­preis 1922), de Bro­g­lie mit sei­nem Vor­schlag der Mate­rie­wel­len im Jah­re 1921, Unter­su­chun­gen wie das Dop­pel­spalt­ex­pe­ri­ment und der Stern-Ger­lach-Ver­such, sowie letzt­end­lich die Ent­wick­lung der Quan­ten­theo­rie durch Erwin Schrö­din­ger (Nobel­preis 1933), Paul Dirac (Nobel­preis 1932) und Wolf­gang Pau­li (Nobel­preis 1945) seit der Auf­stel­lung der Schrö­din­ger­glei­chung im Jah­re 1926 anrich­te­ten.

Letzt­end­lich star­tet seit den 80er Jah­ren des 20. Jahr­hun­derts eine unbe­küm­mer­te Phy­si­ker­ge­nera­ti­on die Anwen­dung der Quan­ten­theo­rie mit Nano­tech­no­lo­gie, künst­li­chen Quan­ten­sys­te­men, Quan­ten­com­pu­tern, Quan­ten­in­for­ma­tik, Quan­ten­kryp­t­ho­gra­fie und Tele­por­ta­ti­on ver­schränk­ter Teil­chen, die Visi­on des Bea­mens aus der Start­rek­rei­he „Raum­schiff Enter­pri­se“ vor den Augen, obwohl immer noch vie­le grund­sätz­li­che Pro­ble­me der Quan­ten­me­cha­nik unge­löst sind und so man­che Phy­si­ker mit Richard Feyn­man (Nobel­preis 1965) über­ein­stim­men, der sag­te: „Ich den­ke, ich kann sagen, dass nie­mand die Quan­ten­me­cha­nik ver­stan­den hat.“

Exo­tisch war von Anfang an die Erkennt­nis, dass Mate­rie in Teil­chen- und Wel­len­form exis­tiert und die Wahr­neh­mung davon abhängt, wie wir eine Mes­sung orga­ni­sie­ren. Im Dop­pel­spalt­ex­pe­ri­ment ist die Mate­rie eine Wel­le, wenn bei­de Spal­te offen sind, und wir sehen Inter­fe­renz. Schlie­ßen wir jedoch einen Spalt, wird die Mate­rie zum Teil­chen, denn wir ver­su­chen einen Zustand zu mes­sen. Wir ver­su­chen den Ort zu bestim­men und ver­lie­ren damit die Infor­ma­ti­on über den Impuls und damit die Ener­gie. Sind wir mit der Mes­sung des Impul­ses zufrie­den, ver­lie­ren wir die Infor­ma­ti­on über den Ort. Dies drück­te Hei­sen­berg mit der Unbe­stimmt­heits­re­la­ti­on aus. Ins­be­son­de­re kön­nen sich immer noch vie­le Phy­si­ker nicht damit abfin­den, dass wir eine rein sub­jek­ti­ve Welt haben sol­len, deren Zustand vom Mess­pro­zess abhängt. Mit der Quan­ten­me­cha­nik beschrei­ben wir die Welt durch eine Funk­ti­on, in der nur die Wahr­schein­lich­kei­ten aller mög­li­chen Zustän­de ste­cken. Dabei exis­tie­ren alle mög­li­chen Zustän­de par­al­lel und erst die Mes­sung mani­fes­tiert einen Zustand in der Rea­li­tät. Selbst bei Mes­sun­gen, bei denen wir nicht hin­schau­en, mani­fes­tiert sich ein Zustand aller mög­li­chen Zustän­de. Die Natur lässt sich nicht über­lis­ten. Schrö­din­gers Kat­ze, die gleich­zei­tig lebt und tot ist, wur­de dafür zum Sinnbild.

Die­se Abhän­gig­keit der Rea­li­tät vom Mess­pro­zess stammt aus der Kopen­ha­ge­ner Deu­tung von Bohr und Hei­sen­berg. Damit konn­te sich selbst Ein­stein nicht abfin­den und heu­te gibt es wie­der Ent­wick­lun­gen, die die Natur auf eine objek­ti­ve Grund­la­ge stel­len wol­len. Ande­re hal­ten sich von die­sem Streit fern und nut­zen die Quan­ten­theo­rie für exo­ti­sche tech­ni­sche Entwicklungen.

Am Beginn der Aneig­nung der Quan­ten­theo­rie ste­hen vie­le Ver­ein­fa­chun­gen, um ein grund­le­gen­des Ver­ständ­nis zu errei­chen. Wir geben uns mit der Quan­ten­me­cha­nik zufrie­den und hier­bei mit nicht­re­la­ti­vis­ti­schen Geschwin­dig­kei­ten, das heißt Geschwin­dig­kei­ten weit unter der Licht­ge­schwin­dig­keit. Außer­dem betrach­ten wir nur ska­la­re Fel­der, wie zum Bei­spiel die Gra­vi­ta­ti­ons­kraft oder das elek­tro­sta­ti­sche Feld und las­sen hohe Geschwin­dig­kei­ten oder den Magne­tis­mus bei­sei­te. Auf vie­len die­ser Ver­ein­fa­chun­gen beruht letzt­end­lich auch die Schrö­din­ger­glei­chung. Mit wei­te­ren Kom­pli­ka­tio­nen zum Bei­spiel im rela­ti­vis­ti­schen Bereich beschäf­tig­te sich dann unter ande­rem Dirac. Um den Elek­tro­ma­gne­tis­mus ein­zu­be­zie­hen und die Atom­strah­lung zu ver­ste­hen, waren wei­te­re Arbei­ten zur Quan­ten­elek­tro­dy­na­mik bis hin zu Richard Feyn­man, Schwin­ger und Tomi­na­ga notwendig.

Blei­ben wir aber bei der Schrö­din­ger­glei­chung. Denn sie lie­fer­te erstaun­li­che Über­ein­stim­mun­gen mit der Natur, ins­be­son­de­re bei der Vor­her­sa­ge der Atom­struk­tur in Form des Scha­len­mo­dells, der Orbi­ta­le und der Ener­gie­ni­veau­auf­spal­tun­gen in der Hyper­fein­struk­tur, was letzt­end­lich auch die Grund­la­ge heu­ti­ger bild­ge­ben­der Ver­fah­ren wie der Magne­ti­schen Reso­nanz­to­mo­gra­fie (MRT) ist. Wie ist die Schrö­din­ger­glei­chung also zu ver­ste­hen, ohne gleich auf den kom­pli­zier­ten mathe­ma­ti­schen Appa­rat zu spre­chen zu kommen?
Schrö­din­ger führ­te die Wel­len­funk­ti­on Ψ ein. Sie beschreibt die Sum­me aller mög­li­chen Zustän­de eines Sys­tems in einem vor­ge­ge­be­nen Koor­di­na­ten­sys­tem. Dies kann zum Bei­spiel der Zustand eines Teil­chens sein, das sich irgend­wo im Raum befin­det und Trä­ger eines Impul­ses ist. Die­sen Zustand als Wahr­schein­lich­keits­am­pli­tu­de dafür zu betrach­ten, dass sich das Teil­chen irgend­wo im Raum befin­det, haben wir Max Born zu ver­dan­ken. Das Qua­drat die­ser Ampli­tu­de bil­de­te nun die Wahr­schein­lich­keit, dass sich das Teil­chen in einer bestimm­ten Volu­men­ein­heit des Rau­mes befin­det und damit einen bestimm­ten Zustand besitzt. Wir erhal­ten also die Wahr­schein­lich­keit für den Auf­ent­halt in einem drei­di­men­sio­na­len Raum­be­reich. Wer­den zur voll­stän­di­gen Beschrei­bung des Teil­chens auch des­sen Dreh­im­puls sowie des­sen Ladung oder auch wei­te­re Eigen­schaf­ten benö­tigt, oder beschrei­ben wir ein Sys­tem mit vie­len Teil­chen, haben wir vie­le Koor­di­na­ten, wer­den damit die Zustän­de des Sys­tems in einem viel­di­men­sio­na­len Raum, dem Hil­ber­traum, beschrie­ben. Geht das Sys­tem nun von einem Zustand in einen ande­ren Zustand über, läuft es auf einer Raum­kur­ve ent­lang der Ober­flä­che die­ses Hilbertraumes.

Wie wech­selt nun das Sys­tem sei­nen Zustand? Ein Gerät wirkt auf das Sys­tem ein und ver­än­dert sei­nen Zustand. Die­ses Gerät (zum Bei­spiel exter­nes Feld oder Mess­ge­rät) nen­nen wir Ope­ra­tor, das auf einen Zustand Ψ wirkt und einen neu­en Zustand erzeugt. Nichts ande­res sagt die Schrö­din­ger-Glei­chung aus. Der soge­nann­te Hamil­ton-Ope­ra­tor H wirkt auf die Wel­len­funk­ti­on Ψ (beschreibt den Sys­tem­zu­stand als Ampli­tu­den an allen Orten r zu einer bestimm­ten Zeit t) und bewirkt damit eine Ver­än­de­rung der Wel­len­funk­ti­on in der Zeit t (d/dt), das heißt

Da man in der Quan­ten­me­cha­nik mit ima­gi­nä­ren Zah­len arbei­tet, um Pha­se sowie Ampli­tu­de der Wel­le gleich­zei­tig zu beschrei­ben, steht die ima­gi­nä­re Grö­ße i in der For­mel, die mit dem Hei­sen­berg­schen Wir­kungs­quan­tum h mul­ti­pli­ziert wird. Das Wir­kungs­quan­tum kommt hier als kleinst­mög­li­cher Ver­viel­fa­cher ins Spiel, da das Pro­dukt der Mess­ge­nau­ig­keit des Ortes und der Mess­ge­nau­ig­keit des Impul­ses eines Teil­chens nie klei­ner als das Wir­kungs­quan­tum sein kann (Hei­sen­berg­sche Unschär­fe­re­la­ti­on). Misst man den Auf­ent­halts­ort eines Teil­chens sehr genau, wird die Impuls­mes­sung unge­nau und umgekehrt.
Dies stellt die dyna­mi­sche Glei­chung für eine zeit­lich ver­än­der­li­che Wel­len­funk­ti­on dar. Kom­pli­zier­ter wird die Situa­ti­on noch, wenn sich auch der auf den Zustand wir­ken­de Ope­ra­tor H zeit­lich ver­än­dert, das ein­wir­ken­de Sys­tem ver­än­dert sich selbst in der Zeit. Doch das soll hier nicht betrach­tet werden.

Inter­es­sant ist die Fra­ge, ob es Zustän­de Ψ (Vek­to­ren im Hil­ber­traum) gibt, die nach der Trans­for­ma­ti­on durch den Hamil­to­n­ope­ra­tor unver­än­dert blei­ben und sich damit zeit­lich nicht ver­än­dern. Die­se Fra­ge­stel­lung nennt sich Eigen­wert­auf­ga­be, das heißt H Ψ(r) = λ Ψ(r). Mit Hil­fe der Ein­heits­ma­trix I kön­nen wir die Glei­chung auch in fol­gen­der Form schreiben:

(H — λ E ) Ψ(r) = 0
Gesucht wer­den die Eigen­vek­to­ren Ψ(r) und zuge­hö­ri­ge kom­ple­xe Viel­fa­che λ, die die­se Glei­chung erfül­len. Da wir belie­big vie­le Dimen­sio­nen des Zustan­des Ψ haben kön­nen, lösen wir hier also n‑dimensionale Glei­chungs­sys­te­me mit n Unbe­kann­ten. Aus der Mathe­ma­tik wis­sen wir, genau­er aus der linea­ren Alge­bra und der Matri­zen­rech­nung, dass wir nicht­tri­via­le Lösun­gen erhal­ten, wenn die Deter­mi­nan­te die­ser Matrix gleich Null ist. Nicht­ma­the­ma­ti­ker sol­len hier nicht gelang­weilt wer­den und sprin­gen über den nächs­ten, kur­siv gedruck­ten Abschnitt, der nur kurz den Lösungs­weg benennt.

Die Glei­chung heißt cha­rak­te­ris­ti­sche Glei­chung der Matrix H und ihre Auf­lö­sung führt zu einem Poly­nom n‑ten Gra­des bezüg­lich λ: p(λ) = det(H — λ E), dem soge­nann­ten cha­rak­te­ris­ti­schen Poly­nom von H.
Die Eigen­wer­te für die Eigen­vek­to­ren Ψ sind dann die Null­stel­len des cha­rak­te­ris­ti­schen Polynoms.

In der Quan­ten­me­cha­nik sind die­se Viel­fa­che λ die Eigen­wer­te E, die die Ener­gie­zu­stän­de beschrei­ben, auf denen sich die Teil­chen im sta­tio­nä­ren Zustand befin­den kön­nen. Man erhält für ein Teil­chen, das sich in einem soge­nann­ten Poten­ti­al­topf befin­det (bei­spiels­wei­se Elek­tron auf der Bahn um einen Was­ser­stoff­kern) und sich damit nicht frei bewe­gen kann, dis­kre­te Ener­gie­zu­stän­de. Es kann also nicht jeden belie­bi­gen Ener­gie­zu­stand ein­neh­men. Bei Über­gän­gen zwi­schen zwei Ener­gie­zu­stän­den wer­den Ener­gie­quan­ten benö­tigt oder frei.

Am Schluss sei noch ein­mal kurz zusam­men­ge­fasst. Wir haben hier den Zustand von Teil­chen über ihren Ort und Impuls quan­ten­me­cha­nisch beschrie­ben. Die­se Betrach­tungs­form gilt natür­lich auch für ande­re Zustands­for­men, die Pola­ri­sa­ti­ons­rich­tung von Licht in der Quan­ten­op­tik oder den Spin von Elek­tro­nen (rechts- oder links­dre­hend) als mög­li­che Beschrei­bungs­form eines Zustan­des in der Quan­ten­in­for­ma­tik. Die Anzahl der ein Sys­tem voll­stän­dig beschrei­ben­den Merk­ma­le bestimmt die Anzahl der Dimen­sio­nen des Zustan­des. Alle mög­li­chen Zustän­de des Sys­tems in die­sem n‑dimensionalen Raum beschrei­ben den Hil­ber­traum. Auf die­sen Zustand wirkt ein ande­res Sys­tem (Ope­ra­tor) ein und über­führt die­sen Zustand in einen ande­ren Zustand, das heißt das Sys­tem bewegt sich im Hil­ber­traum. Dazu hat Dirac eine ein­fa­che Schreib­wei­se in fol­gen­der Form ein­ge­führt, bei der ein Ope­ra­tor H auf einen Zustands­vek­tor Ψ ein­wirkt und damit einen neu­en Zustand Φ erzeugt.

|Φ> = H |Ψ>

Wir betrach­ten mit der Wel­len­funk­ti­on Ψ also die Ampli­tu­den von Zustän­den, mit dem Qua­drat die­ser Ampli­tu­den, die Wahr­schein­lich­keit für den Auf­ent­halt in ver­schie­de­nen Zustän­den, sowie mit ein­wir­ken­den Ope­ra­to­ren Zustands­ver­än­de­run­gen (Bewe­gun­gen im Hil­ber­traum), wobei bei sta­tio­nä­ren Lösun­gen der Zustand auch erhal­ten blei­ben kann.

Janu­ar 2005, copy­right by Andre­as Kießling

 

Die Postulate der Quantenmechanik

Die Quan­ten­men­cha­nik ist ein phy­si­ka­li­scher Appa­rat zur Ent­wick­lung phy­si­ka­li­scher Theo­rien. Damit erzählt uns die Quan­ten­me­cha­nik nicht selbst, wel­chen Geset­zen ein phy­si­ka­li­sches Sys­tem unter­liegt, son­dern sie führt ein kon­zep­tio­nel­les und mathe­ma­ti­sches Set zur Ent­wick­lung sol­cher Geset­ze ein. Die fol­gen­den Pos­tu­la­te der Quan­ten­me­cha­nik füh­ren zu einer Ver­bin­dung der phy­si­ka­li­schen Welt und dem mathe­ma­ti­schen For­ma­lis­mus der Quan­ten­me­cha­nik.

Postulat 1

Zuge­hö­rig zu einem jeden phy­si­ka­li­schen Sys­tem ist ein kom­ple­xer Vek­tor­raum (der Hil­ber­traum), bekannt als der Zustands­raum des Sys­tems. Das Sys­tem ist kom­plett durch sei­nen Zustands­vek­tor beschrie­ben, wel­cher ein Ein­heits­vek­tor im Zustands­raum des Sys­tems ist.

Postulat 2

Die Evo­lu­ti­on eines geschlos­se­nen Quan­ten­sys­tems wird durch eine unitä­re Trans­for­ma­ti­on beschrie­ben. Das heißt, der Zustand Symbol des Sys­tems zur Zeit t1 ist ver­bun­den mit dem Zustand Symbol’ des Sys­tems zur Zeit t2 durch einen unitä­ren Ope­ra­tor U, wel­cher nur von den Zei­ten t1 und t2 abhängt.

Postulat 3

Quan­ten­mes­sun­gen wer­den durch eine Samm­lung von Mess­ope­ra­to­ren beschrie­ben. Dies sind auf den Zustands­raum des zu mes­sen­den Sys­tems wir­ken­de Ope­ra­to­ren. Der Index m bezieht sich auf das Mess­ergeb­nis, das in dem Expe­ri­ment vor­kom­men kann. Wenn der Zustand des Quan­ten­sys­tems vor der Mes­sung Symbol ist, dann ist die Wahr­schein­lich­keit, dass das Mess­ergeb­nis m vor­kommt p(m).

Postulat 4

Der Zustands­raum eines zusam­men­ge­setz­ten Sys­tems ist das Ten­sor­pro­dukt der Zustands­räu­me der phy­si­ka­li­schen Systemkomponenten.

Pos­tu­lat 1 stellt die Are­na für die Quan­ten­me­cha­nik dar, indem es spe­zi­fi­ziert, wie der Zustand eines iso­lier­ten Quan­ten­sys­tems beschrie­ben wer­den kann. Pos­tu­lat 2 erzählt uns, dass die Dyna­mik eines geschlos­se­nen Quan­ten­sys­tems durch die Schrö­din­ger­glei­chung beschrie­ben wird, und damit durch eine unitä­re Trans­for­ma­ti­on. Pos­tu­lat 3 erzählt uns mit der Vor­schrift für die Beschrei­bung einer Mes­sung, wie Infor­ma­ti­on aus unse­rem Quan­ten­sys­tem extra­hiert wer­den kann. Pos­tu­lat 4 wie­der­um gibt uns mit der Beschrei­bung zusam­men­ge­setz­ter Sys­te­me eine Anlei­tung, wie Zuständs­räu­me ver­schie­de­ner Quan­ten­sys­te­me kom­bi­niert wer­den können.

Quan­tum Com­pu­ta­ti­on and Quan­tum Infor­ma­ti­on, Micha­el A. Niel­sen and Isaak L. Chuang, Cam­bridge Uni­ver­si­ty Press, 2000

 

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