Quantenmechanik

Quantenmechanik - Versuch einer Einführung in eine schwer begreifbare Welt

Schrödinger Gleichung und Quantenmechanik
Schrödinger Gleichung, , Creative Commons CC0 https://pixabay.com/de

 

Quantenmechanik — Versuch einer Einführung in eine schwer begreifbare Welt

Die Quan­ten­me­cha­nik ver­ständ­lich zu erläu­tern, kann als 80 Jah­re anhal­ten­der Ver­such bezeich­net wer­den. Lan­ge ver­stan­den selbst Phy­si­ker nicht, was Planck mit sei­nem Pos­tu­lat der dis­kre­ten Ener­gie­zu­stän­de nach Unter­su­chung der Strah­lung des schwar­zen Kör­pers im Jah­re 1900, Ein­stein mit sei­nem pho­to­elek­tri­schen Effekt im Jah­re 1905, wofür er übri­gens 1921 den Nobel­preis erhielt, Nils Bohr mit der Unter­su­chung der Atom­struk­tur im Jah­re 1921 (Nobel­preis 1922), de Bro­g­lie mit sei­nem Vor­schlag der Mate­rie­wel­len im Jah­re 1921, Unter­su­chun­gen wie das Dop­pel­spalt­ex­pe­ri­ment und der Stern-Ger­lach-Ver­such, sowie letzt­end­lich die Ent­wick­lung der Quan­ten­theo­rie durch Erwin Schrö­din­ger (Nobel­preis 1933), Paul Dirac (Nobel­preis 1932) und Wolf­gang Pau­li (Nobel­preis 1945) seit der Auf­stel­lung der Schrö­din­ger­glei­chung im Jah­re 1926 anrich­te­ten.

Letzt­end­lich star­tet seit den 80er Jah­ren des 20. Jahr­hun­derts eine unbe­küm­mer­te Phy­si­ker­ge­nera­ti­on die Anwen­dung der Quan­ten­theo­rie mit Nano­tech­no­lo­gie, künst­li­chen Quan­ten­sys­te­men, Quan­ten­com­pu­tern, Quan­ten­in­for­ma­tik, Quan­ten­kryp­t­ho­gra­fie und Tele­por­ta­ti­on ver­schränk­ter Teil­chen, die Visi­on des Bea­mens aus der Start­re­k­rei­he „Raum­schiff Enter­pri­se“ vor den Augen, obwohl immer noch vie­le grund­sätz­li­che Pro­ble­me der Quan­ten­me­cha­nik unge­löst sind und so man­che Phy­si­ker mit Richard Feyn­man (Nobel­preis 1965) über­ein­stim­men, der sagte:„Ich den­ke, ich kann sagen, dass nie­mand die Quan­ten­me­cha­nik ver­stan­den hat.“Exotisch war von Anfang an die Erkennt­nis, dass Mate­rie in Teil­chen- und Wel­len­form exis­tiert und die Wahr­neh­mung davon abhängt, wie wir eine Mes­sung orga­ni­sie­ren. Im Dop­pel­spalt­ex­pe­ri­ment ist die Mate­rie eine Wel­le, wenn bei­de Spal­te offen sind, und wir sehen Inter­fe­renz. Schlie­ßen wir jedoch einen Spalt, wird die Mate­rie zum Teil­chen, denn wir ver­su­chen einen Zustand zu mes­sen. Wir ver­su­chen den Ort zu bestim­men und ver­lie­ren damit die Infor­ma­ti­on über den Impuls und damit die Ener­gie. Sind wir mit der Mes­sung des Impul­ses zufrie­den, ver­lie­ren wir die Infor­ma­ti­on über den Ort. Dies drück­te Hei­sen­berg mit der Unbe­stimmt­heits­re­la­ti­on aus. Ins­be­son­de­re kön­nen sich immer noch vie­le Phy­si­ker nicht damit abfin­den, dass wir eine rein sub­jek­ti­ve Welt haben sol­len, deren Zustand vom Mess­pro­zess abhängt. Mit der Quan­ten­me­cha­nik beschrei­ben wir die Welt durch eine Funk­ti­on, in der nur die Wahr­schein­lich­kei­ten aller mög­li­chen Zustän­de ste­cken. Dabei exis­tie­ren alle mög­li­chen Zustän­de par­al­lel und erst die Mes­sung mani­fes­tiert einen Zustand in der Rea­li­tät. Selbst bei Mes­sun­gen, bei denen wir nicht hin­schau­en, mani­fes­tiert sich ein Zustand aller mög­li­chen Zustän­de. Die Natur lässt sich nicht über­lis­ten. Schrö­din­gers Kat­ze, die gleich­zei­tig lebt und tot ist, wur­de dafür zum Sinnbild.Diese Abhän­gig­keit der Rea­li­tät vom Mess­pro­zess stammt aus der Kopen­ha­ge­ner Deu­tung von Bohr und Hei­sen­berg. Damit konn­te sich selbst Ein­stein nicht abfin­den und heu­te gibt es wie­der Ent­wick­lun­gen, die die Natur auf eine objek­ti­ve Grund­la­ge stel­len wol­len. Ande­re hal­ten sich von die­sem Streit fern und nut­zen die Quan­ten­theo­rie für exo­ti­sche tech­ni­sche Ent­wick­lun­gen.
Am Beginn der Aneig­nung der Quan­ten­theo­rie ste­hen vie­le Ver­ein­fa­chun­gen, um ein grund­le­gen­des Ver­ständ­nis zu errei­chen. Wir geben uns mit der Quan­ten­me­cha­nik zufrie­den und hier­bei mit nicht­re­la­ti­vis­ti­schen Geschwin­dig­kei­ten, das heißt Geschwin­dig­kei­ten weit unter der Licht­ge­schwin­dig­keit. Außer­dem betrach­ten wir nur ska­la­re Fel­der, wie zum Bei­spiel die Gra­vi­ta­ti­ons­kraft oder das elek­tro­sta­ti­sche Feld und las­sen hohe Geschwin­dig­kei­ten oder den Magne­tis­mus bei­sei­te. Auf vie­len die­ser Ver­ein­fa­chun­gen beruht letzt­end­lich auch die Schrö­din­ger­glei­chung. Mit wei­te­ren Kom­pli­ka­tio­nen zum Bei­spiel im rela­ti­vis­ti­schen Bereich beschäf­tig­te sich dann unter ande­rem Dirac. Um den Elek­tro­ma­gne­tis­mus ein­zu­be­zie­hen und die Atom­strah­lung zu ver­ste­hen, waren wei­te­re Arbei­ten zur Quan­ten­elek­tro­dy­na­mik bis hin zu Richard Feyn­man, Schwin­ger und Tomi­na­ga notwendig.Bleiben wir aber bei der Schrö­din­ger­glei­chung. Denn sie lie­fer­te erstaun­li­che Über­ein­stim­mun­gen mit der Natur, ins­be­son­de­re bei der Vor­her­sa­ge der Atom­struk­tur in Form des Scha­len­mo­dells, der Orbi­ta­le und der Ener­gie­ni­veau­auf­spal­tun­gen in der Hyper­fein­struk­tur, was letzt­end­lich auch die Grund­la­ge heu­ti­ger bild­ge­ben­der Ver­fah­ren wie der Magne­ti­schen Reso­nanz­to­mo­gra­fie (MRT) ist.Wie ist die Schrö­din­ger­glei­chung also zu ver­ste­hen, ohne gleich auf den kom­pli­zier­ten mathe­ma­ti­schen Appa­rat zu spre­chen zu kom­men?
Schrö­din­ger führ­te die Wel­len­funk­ti­on Formel ein. Sie beschreibt die Sum­me aller mög­li­chen Zustän­de eines Sys­tems in einem vor­ge­ge­be­nen Koor­di­na­ten­sys­tem. Dies kann zum Bei­spiel der Zustand eines Teil­chens sein, das sich irgend­wo im Raum befin­det und Trä­ger eines Impul­ses ist. Die­sen Zustand als Wahr­schein­lich­keits­am­pli­tu­de dafür zu betrach­ten, dass sich das Teil­chen irgend­wo im Raum befin­det, haben wir Max Born zu ver­dan­ken. Das Qua­drat die­ser Ampli­tu­de bil­de­te nun die Wahr­schein­lich­keit, dass sich das Teil­chen in einer bestimm­ten Volu­men­ein­heit des Rau­mes befin­det und damit einen bestimm­ten Zustand besitzt. Wir erhal­ten also die Wahr­schein­lich­keit für den Auf­ent­halt in einem drei­di­men­sio­na­len Raum­be­reich. Wer­den zur voll­stän­di­gen Beschrei­bung des Teil­chens auch des­sen Dreh­im­puls sowie des­sen Ladung oder auch wei­te­re Eigen­schaf­ten benö­tigt, oder beschrei­ben wir ein Sys­tem mit vie­len Teil­chen, haben wir vie­le Koor­di­na­ten, wer­den damit die Zustän­de des Sys­tems in einem viel­di­men­sio­na­len Raum, dem Hil­ber­t­raum, beschrie­ben. Geht das Sys­tem nun von einem Zustand in einen ande­ren Zustand über, läuft es auf einer Raum­kur­ve ent­lang der Ober­flä­che die­ses Hil­ber­t­rau­mes.
Wie wech­selt nun das Sys­tem sei­nen Zustand? Ein Gerät wirkt auf das Sys­tem ein und ver­än­dert sei­nen Zustand. Die­ses Gerät (zum Bei­spiel exter­nes Feld oder Mess­ge­rät) nen­nen wir Ope­ra­tor, das auf einen Zustand Formel wirkt und einen neu­en Zustand erzeugt. Nichts ande­res sagt die Schrö­din­ger-Glei­chung aus. Der soge­nann­te Hamil­ton-Ope­ra­tor H wirkt auf die Wel­len­funk­ti­on Psi (beschreibt den Sys­tem­zu­stand als Ampli­tu­den an allen Orten r zu einer bestimm­ten Zeit t) und bewirkt damit eine Ver­än­de­rung der Wel­len­funk­ti­on in der Zeit t (d/dt), das heißt

Da man in der Quan­ten­me­cha­nik mit ima­gi­nä­ren Zah­len arbei­tet, um Pha­se sowie Ampli­tu­de der Wel­le gleich­zei­tig zu beschrei­ben, steht die ima­gi­nä­re Grö­ße i in der For­mel, die mit dem Hei­sen­berg­schen Wir­kungs­quan­tum h quer mul­ti­pli­ziert wird. Das Wir­kungs­quan­tum kommt hier als kleinst­mög­li­cher Ver­viel­fa­cher ins Spiel, da das Pro­dukt der Mess­ge­nau­ig­keit des Ortes und der Mess­ge­nau­ig­keit des Impul­ses eines Teil­chens nie klei­ner als das Wir­kungs­quan­tum sein kann (Hei­sen­berg­sche Unschär­fe­re­la­ti­on). Misst man den Auf­ent­halts­ort eines Teil­chens sehr genau, wird die Impuls­mes­sung unge­nau und umge­kehrt.
Dies stellt die dyna­mi­sche Glei­chung für eine zeit­lich ver­än­der­li­che Wel­len­funk­ti­on dar. Kom­pli­zier­ter wird die Situa­ti­on noch, wenn sich auch der auf den Zustand wir­ken­de Ope­ra­tor H zeit­lich ver­än­dert, das ein­wir­ken­de Sys­tem ver­än­dert sich selbst in der Zeit. Doch das soll hier nicht betrach­tet wer­den.
Inter­es­sant ist die Fra­ge, ob es Zustän­de Psi (Vek­to­ren im Hil­ber­t­raum) gibt, die nach der Trans­for­ma­ti­on durch den Hamil­to­n­ope­ra­tor unver­än­dert blei­ben und sich damit zeit­lich nicht ver­än­dern. Die­se Fra­ge­stel­lung nennt sich Eigen­wert­auf­ga­be, das heißt H Psi(r) = E Psi(r). Mit Hil­fe der Ein­heits­ma­trix I kön­nen wir die Glei­chung auch in fol­gen­der Form schrei­ben:
(H — E I) Psi(r) = 0
Gesucht wer­den die Eigen­vek­to­ren Psi(r) und zuge­hö­ri­ge kom­ple­xe Viel­fa­che E, die die­se Glei­chung erfül­len. Da wir belie­big vie­le Dimen­sio­nen des Zustan­des Psi haben kön­nen, lösen wir hier also n-dimen­sio­na­le Glei­chungs­sys­te­me mit n Unbe­kann­ten. Aus der Mathe­ma­tik wis­sen wir, genau­er aus der linea­ren Alge­bra und der Matri­zen­rech­nung, dass wir nichttri­via­le Lösun­gen erhal­ten, wenn die Deter­mi­nan­te die­ser Matrix gleich Null ist. Nicht­ma­the­ma­ti­ker sol­len hier nicht gelang­weilt wer­den und sprin­gen über den nächs­ten, kur­siv gedruck­ten Abschnitt, der nur kurz den Lösungs­weg benennt.Die Glei­chung heißt cha­rak­te­ris­ti­sche Glei­chung der Matrix H und ihre Auf­lö­sung führt zu einem Poly­nom n-ten Gra­des bezüg­lich E: p(E) = det(H — E I), dem soge­nann­ten cha­rak­te­ris­ti­schen Poly­nom von H.
Die Eigen­wer­te für die Eigen­vek­to­ren Psi sind dann die Null­stel­len des cha­rak­te­ris­ti­schen Poly­noms.
In der Quan­ten­me­cha­nik sind die­se Viel­fa­che die Eigen­wer­te E, die die Ener­gie­zu­stän­de beschrei­ben, auf denen sich die Teil­chen im sta­tio­nä­ren Zustand befin­den kön­nen. Man erhält für ein Teil­chen, das sich in einem soge­nann­ten Poten­ti­al­topf befin­det (bei­spiels­wei­se Elek­tron auf der Bahn um einen Was­ser­stoff­kern) und sich damit nicht frei bewe­gen kann, dis­kre­te Ener­gie­zu­stän­de. Es kann also nicht jeden belie­bi­gen Ener­gie­zu­stand ein­neh­men. Bei Über­gän­gen zwi­schen zwei Ener­gie­zu­stän­den wer­den Ener­gie­quan­ten benö­tigt oder frei.
Am Schluss sei noch ein­mal kurz zusam­men­ge­fasst. Wir haben hier den Zustand von Teil­chen über ihren Ort und Impuls quan­ten­me­cha­nisch beschrie­ben. Die­se Betrach­tungs­form gilt natür­lich auch für ande­re Zustands­for­men, die Pola­ri­sa­ti­ons­rich­tung von Licht in der Quan­ten­op­tik oder den Spin von Elek­tro­nen (rechts- oder links­dre­hend) als mög­li­che Beschrei­bungs­form eines Zustan­des in der Quan­ten­in­for­ma­tik. Die Anzahl der ein Sys­tem voll­stän­dig beschrei­ben­den Merk­ma­le bestimmt die Anzahl der Dimen­sio­nen des Zustan­des. Alle mög­li­chen Zustän­de des Sys­tems in die­sem n-dimen­sio­na­len Raum beschrei­ben den Hil­ber­t­raum. Auf die­sen Zustand wirkt ein ande­res Sys­tem (Ope­ra­tor) ein und über­führt die­sen Zustand in einen ande­ren Zustand, das heißt das Sys­tem bewegt sich im Hil­ber­t­raum. Dazu hat Dirac eine ein­fa­che Schreib­wei­se in fol­gen­der Form ein­ge­führt, bei der ein Ope­ra­tor H auf einen Zustands­vek­tor Psi ein­wirkt und damit einen neu­en Zustand Psi erzeugt.
Formel Zustandsänderung
Wir betrach­ten mit der Wel­len­funk­ti­on Psi also die Ampli­tu­den von Zustän­den, mit dem Qua­drat die­ser Ampli­tu­den, die Wahr­schein­lich­keit für den Auf­ent­halt in ver­schie­de­nen Zustän­den, sowie mit ein­wir­ken­den Ope­ra­to­ren Zustands­ver­än­de­run­gen (Bewe­gun­gen im Hil­ber­t­raum), wobei bei sta­tio­nä­ren Lösun­gen der Zustand auch erhal­ten blei­ben kann.

Janu­ar 2005, copy­right by Andre­as Kieß­ling

 

Die Postulate der Quantenmechanik

Die Quan­ten­men­cha­nik ist ein phy­si­ka­li­scher Appa­rat zur Ent­wick­lung phy­si­ka­li­scher Theo­ri­en. Damit erzählt uns die Quan­ten­me­cha­nik nicht selbst, wel­chen Geset­zen ein phy­si­ka­li­sches Sys­tem unter­liegt, son­dern sie führt ein kon­zep­tio­nel­les und mathe­ma­ti­sches Set zur Ent­wick­lung sol­cher Geset­ze ein. Die fol­gen­den Pos­tu­la­te der Quan­ten­me­cha­nik füh­ren zu einer Ver­bin­dung der phy­si­ka­li­schen Welt und dem mathe­ma­ti­schen For­ma­lis­mus der Quan­ten­me­cha­nik.

Postulat 1

Zuge­hö­rig zu einem jeden phy­si­ka­li­schen Sys­tem ist ein kom­ple­xer Vek­tor­raum (der Hil­ber­t­raum), bekannt als der Zustands­raum des Sys­tems. Das Sys­tem ist kom­plett durch sei­nen Zustands­vek­tor beschrie­ben, wel­cher ein Ein­heits­vek­tor im Zustands­raum des Sys­tems ist.

Postulat 2

Die Evo­lu­ti­on eines geschlos­se­nen Quan­ten­sys­tems wird durch eine unitä­re Trans­for­ma­ti­on beschrie­ben. Das heißt, der Zustand Symbol des Sys­tems zur Zeit t1 ist ver­bun­den mit dem Zustand Symbol’ des Sys­tems zur Zeit t2 durch einen unitä­ren Ope­ra­tor U, wel­cher nur von den Zei­ten t1 und t2 abhängt.

Postulat 3

Quan­ten­mes­sun­gen wer­den durch eine Samm­lung von Mess­ope­ra­to­ren beschrie­ben. Dies sind auf den Zustands­raum des zu mes­sen­den Sys­tems wir­ken­de Ope­ra­to­ren. Der Index m bezieht sich auf das Mess­ergeb­nis, das in dem Expe­ri­ment vor­kom­men kann. Wenn der Zustand des Quan­ten­sys­tems vor der Mes­sung Symbol ist, dann ist die Wahr­schein­lich­keit, dass das Mess­ergeb­nis m vor­kommt p(m).

Postulat 4

Der Zustands­raum eines zusam­men­ge­setz­ten Sys­tems ist das Ten­sor­pro­dukt der Zustands­räu­me der phy­si­ka­li­schen Sys­tem­kom­po­nen­ten.

Pos­tu­lat 1 stellt die Are­na für die Quan­ten­me­cha­nik dar, indem es spe­zi­fi­ziert, wie der Zustand eines iso­lier­ten Quan­ten­sys­tems beschrie­ben wer­den kann. Pos­tu­lat 2 erzählt uns, dass die Dyna­mik eines geschlos­se­nen Quan­ten­sys­tems durch die Schrö­din­ger­glei­chung beschrie­ben wird, und damit durch eine unitä­re Trans­for­ma­ti­on. Pos­tu­lat 3 erzählt uns mit der Vor­schrift für die Beschrei­bung einer Mes­sung, wie Infor­ma­ti­on aus unse­rem Quan­ten­sys­tem extra­hiert wer­den kann. Pos­tu­lat 4 wie­der­um gibt uns mit der Beschrei­bung zusam­men­ge­setz­ter Sys­te­me eine Anlei­tung, wie Zuständs­räu­me ver­schie­de­ner Quan­ten­sys­te­me kom­bi­niert wer­den kön­nen.

Quan­tum Com­pu­ta­ti­on and Quan­tum Infor­ma­ti­on, Micha­el A. Niel­sen and Isaak L. Chuang, Cam­bridge Uni­ver­si­ty Press, 2000

 

Andreas Kießling
Über Andreas Kießling 42 Artikel
Andreas Kießling hat in Dresden Physik studiert und lebt im Raum Heidelberg. Er beteiligt sich als Freiberufler und Autor an der Gestaltung nachhaltiger Lebensräume und zugehöriger Energiekreisläufe. Dies betrifft Themen zu erneuerbaren und dezentral organisierten Energien. Veröffentlichungen als auch die Aktivitäten zur Beratung, zum Projektmanagement und zur Lehre dienen der Gestaltung von Energietechnologie, Energiepolitik und Energieökonomie mit regionalen und lokalen Chancen der Raumentwicklung in einer globalisierten Welt.

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